Sequências ou Sucessões

Este é um resumo do conteúdo trabalhado nos seminários apresentados pelos meus alunos neste segundo bimestre.

Seqüências ou sucessões

Uma seqüência ou sucessão é um conjunto finito ou infinito de elementos de qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Uma seqüência genérica pode ser representada por (a₁; a₂; a₃; a₄; ...; a_n; ...), com n Î N*.

Três termos consecutivos de uma seqüência podem ser representados por: 

an - 1, an, an + 1, em que an - 1 é o antecessor de an e an + 1 é o sucessor de an.

Uma seqüência numérica pode ser definida por uma fórmula, que permite calcular qualquer um de seus termos. 

Essa fórmula recebe o nome de lei de formação.

1. O primeiro termo da seqüência dada pela lei de formação an = 3n - 2, n Î N* é a1 = 1. 
Obtenha o valor dos próximos cinco elementos.

a2 = _____________

a3 = _____________

a4 = _____________

a5 = _____________

a6 = _____________

2. Determine o centésimo termo da seqüência dada pela lei an = , n Î N*.

3. Escreva os três próximos termos da seqüência abaixo.
(6; 18; 54; 162; 486; ______; _____; _____) 

Escreva uma lei de formação para essa seqüência. Dica: Fatore os termos da seqüência.

4. Verifique se o número 512 pertence à seqüência definida por an = 2^n - 1, n Î N*. Caso pertença, qual é a posição desse número na seqüência?

Progressão aritmética (PA)

Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r, denominado razão da PA. Assim: an = an - 1 + r, (n ³ 2).

           

5. Temos três tipos de PA, conforme a razão. Se r > 0, então a PA é crescente.

Se r < 0, então a PA é ______________________________ 
Se r = 0, então a PA é ______________________________ 

6. Indique que seqüências são PA, escreva o tipo e determine a razão. 

a) (- 4; 1; 6; 11; 16; 21) 

b) (13; 9; 5; 1; -3; -7; -11; -15) 

c) (1; 2; 3; 4; 8) 

d) (-1; -3; -6; -9) 

e) (-7; -7; -7; -7; -7)

7. Considere: "Numa PA, cada termo, a partir do segundo, é igual à média aritmética entre o termo antecedente e o conseqüente da PA". Assim, considerando três termos consecutivos a, b, c, temos que b = (a + c)/2.

Agora, determine o valor de x, sendo que os números x², (x + 2)² e (x + 3)² formam, nessa ordem, uma PA.

8. Na PA de 52 termos (a1; a2; a3; ...; a51; a52), identifique quais desses pares de termos são eqüidistantes dos extremos: 

a) a8 e a32 

b) a11 e a42 

c) a20 e a37

Termo geral de uma PA

O termo geral da PA é an = a1 + (n-1) × r e indica que, para obter um termo de posição n de uma PA, basta somarmos (n - 1) vezes a razão ao primeiro termo. Portanto, podemos dizer, por exemplo, que 

a8 = a1 + 7 × r  ou  a12 = a1 + 11 × r.

9. Numa PA, a10 = 130 e a19 = 220. Calcule o quarto termo dessa PA. 

Veja que podemos escrever a10 e a19 em função do primeiro termo a1 e da razão r. 

a10 = 130 Þ a1 + 9r = 130 ´ (-2) 

a19 = 220 Þ a1 + 18r = 220 

Resolva o sistema para encontrar a1 e r e depois calcule a4.

10. Numa PA a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Escreva a PA.

11. Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças. 

a) Numa PA de razão 5 e primeiro termo 4, o termo igual a 44 ocupa a 9ª posição. 

b) Sabendo-se que a1 = -5, an = 16 e r = 3, então n = 8. 

c) Numa PA de 37 termos, o primeiro é a1 = 1 503 e o último a37 = 2 077. Então, o termo central éa19 = 3 580. 

d) Interpolando - ou seja, acrescentando - k meios aritméticos entre 12 e 34, obtém-se uma PA de razão 1/2 . Portanto, k = 41.

Soma dos termos de uma PA finita

A soma dos termos de uma PA finita é calculada pela fórmula. 

Sn = 

12. Verifique que a soma dos 30 primeiros termos da PA (2; 5; ...) é S30 = 1 365.

13. Hoje um atleta nada 500 metros e, nos próximos dias, deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia, ele quer chegar a nadar 3 300 metros. Determine a distância que ele deverá nadar a mais por dia e a distância que deverá nadar no 10º dia.

14. Num salão há 1 100 pessoas. Se todas resolverem se cumprimentar, quantos cumprimentos serão trocados?

Dica: Numere as pessoas de 1 a 1 100 e observe que a primeira pessoa trocará 1 099 cumprimentos; a segunda, 1 098 novos cumprimentos, pois já foi contado quem trocou cumprimento com a primeira pessoa; a terceira, 1 097 novos cumprimentos; assim, a pessoa número 1 099 trocará apenas 1 novo cumprimento, e a pessoa de número 1 100 não terá cumprimentos novos. O total de cumprimentos trocados será a soma dos termos da PA (1 099, 1 098, 1 097, ..., 1), que tem 1 099 termos.

Progressão geométrica (PG)

Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a seu antecessor multiplicado por um número constante q denominado razão da PG Assim: an = q × an - 1 (n ³ 2).

As PG são classificadas de acordo com os valores do primeiro termo a1 e da razão q: 

a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 Þ PG crescente 

a1 < 0 e q >1 ou 

a1 > 0 e 0 < q < 1 Þ PG decrescente

" a1 ¹ 0 e q < 0 Þ PG alternante 
" a1 e q = 1 Þ PG constante ou estacionária

15. Identifique as PG dentre as seqüências abaixo e determine a razão quando possível:

a) (5/2, -3/2, 1/2, ...)

b) (0,2; -2,8; 8,4; -25,2) 

c) (0,7; -1,4; 2,8; -5,6)

d) (2; 4; 6; 8; 10; ...) 

16. Classifique as PG abaixo em crescente, decrescente, alternante ou constante. 

Justifique sua resposta.

a) (1, 3, 9, 27, 81,...) 

b) (- 40, -20, - 10, -5, ...) 

c) (3, 3, 3, 3, 3) 

d) (2, - 4, 8, - 16, 32, - 64) 

e) (7, 7/2, 7/4, 7/8, ...)

17. Numa PG finita, o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Escreva uma PG e verifique essa propriedade.

18. Numa PG, cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo antecedente e o conseqüente da seqüência. Se considerarmos três termos consecutivos de uma PG, temos:

ap - 1, ap, ap + 1 Þ (ap)² = ap - 1 × ap + 1 

Escreva uma PG e verifique essa propriedade.

Termo geral de uma PG

O termo geral de uma PG é dado por an = a1 × q^{n - 1} e indica que, para obter um termo de posição n de uma PG, basta multiplicarmos o primeiro termo a1 pela razão q elevada a n - 1. 

Dessa forma, dizemos, por exemplo, que a7 = a1 × q⁶ ou a12 = a1 × q¹¹.

19. Numa PG, o segundo termo é 8 e o quinto é 512. Determine o oitavo termo dessa PG. 

Dica: Escreva a2 e a5 em função de a1 e de q.

20. Complete a seqüência de modo a termos uma PG decrescente.

(____; ____; ____; ____; ____; 5/8; ____; 5/64 )

Soma dos termos de uma PG finita e de uma PG infinita

Podemos calcular a soma de determinados termos de uma PG usando a fórmula:
Sn = a1 × (q^{n - 1}) / q - 1, (q ¹ 1).


 Se precisamos calcular a soma dos infinitos termos de uma PG em que -1< q < 1, temos: 
Sn = a1 / 1 - q, (q ¹ 1).

           

21. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,...).

22. Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5,...).

23. Escreva se a proposição é verdadeira (V) ou falsa (F). 

a) Interpolando quatro meios geométricos entre o número x e o número 2, nessa ordem, obtém-se uma PG cuja razão é igual a 1/2. Portanto, x = 64. 

b) Seja a seqüência (2, 2x, 4x + 6) uma PG crescente. Logo, o valor de x e a razão da progressão são, respectivamente, 3 e 4. 

c) A seqüência (x, x - 1, x + 2,...) é uma PG. O quarto termo é o número -27/4. 

d) A soma dos trinta primeiros termos da PG (2, -2, 2, -2, ...) é S30 = 0.

24. Interpole quatro meios geométricos entre 1 e 243.

25. A solução da equação x + x/3 + x/9 + x/27 + ....= 60 é

a) 37 

b) 44 

c) 62 

d) 40 

e) 58 

FONTE: http://www.scipione.com.br/ap/didaticos/matematica_ensinomedio/c10rot.htm